Algèbre 2 [Lecture notes] by Olivier Debarre

By Olivier Debarre

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Groupe de Galois d’une extension de corps. — La définition suivante s’inspire de la déf. 3. 26 CHAPITRE I. 1. — Soit K → L une extension de corps. Un K-automorphisme de L est un automor∼ phisme de corps L → L qui est l’identité sur K. Le groupe de Galois Gal(L/K) est le groupe des Kautomorphismes de L. 2. — Soit σ un élément de Gal(C/R). On a σ(i)2 = σ(i2 ) = σ(−1) = −1, de sorte que σ(i) = ±i. On en déduit que le groupe Gal(C/R) a deux éléments : l’identité et la conjugaison complexe. √ Soit σ un élément de Gal(Q( 3 2)/Q).

Comme K → L est normale (resp. séparable), chaque Pi est scindé (resp. à racines simples) dans L, donc aussi le ppcm Q := P1 ∨ · · · ∨ Pn . Comme L est engendré sur K par les xi , qui sont des racines de Q, le corps L est un corps de décomposition du polynôme séparable Q ∈ K[X]. En utilisant le th. 23, on peut aussi dire qu’il existe x ∈ L tel que le polynôme minimal de x sur K est scindé à racines simples dans L et que L = K(x). Soit K → L une extension finie galoisienne. C’est donc le corps de décomposition d’un polynôme séparable P ∈ K[X].

25. — Une extension K → L (de corps de caractéristique 0) est dite radicale s’il existe une suite d’extensions K = K0 → K1 → · · · → Kn = L telle qu’il existe pour chaque i un élément xi de Ki et un entier di > 0 tels que Ki = Ki−1 (xi ) et xdi i ∈ Ki−1 . On dit que L s’obtient à partir de K par adjonctions successives de racines. Il est clair que si K → L et L → M sont des extensions radicales (de corps de caractéristique 0), il en est de même de l’extension composée K → M . 26. — Soit K un corps de caractéristique 0.

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