Analysis by Forster

By Forster

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am machine nachvollzogen werden können. Die vorliegende nine. Auflage wurde an mehreren Stellen weiter überarbeitet und es wurden einige neue Abbildungen und Übungsaufgaben ergänzt.

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F¨ur n := max(N1 , N2 ) gilt dann sowohl |an −a| < ε als auch |an −b| < ε. Daraus folgt mit der Dreiecks-Ungleichung |a − b| |a − an | + |an − b| < 2ε = |a − b| , also der Widerspruch |a − b| < |a − b|. Es muss also doch a = b sein. H¨aufig benutzt man bei der Untersuchung der Konvergenz von Folgen nicht direkt die Definition, sondern f¨uhrt die Konvergenz nach gewissen Regeln auf schon bekannte Folgen zur¨uck. Dazu dienen die n¨achsten S¨atze. Satz 3 (Summe und Produkt konvergenter Folgen). Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen reeller Zahlen.

Peano-Axiome. h. zwei verschiedene Elemente von N haben auch verschiedene Nachfolger. h. kein Element von N hat 0 als Nachfolger. 3) (Induktions-Axiom) Sei M ⊂ N eine Teilmenge mit folgenden Eigenschaften: i) 0 ∈ M, ii) x ∈ M ⇒ ν(x) ∈ M. Dann gilt M = N . 1) ist trivial, denn in jedem K¨orper folgt aus x + 1 = y + 1, dass x = y. 2) nachzupr¨ufen. Dazu zeigen wir zun¨achst x 0 f¨ur alle x ∈ N . Beweis hierf¨ur. Wir definieren M := {x ∈ N : x 0}. d. 2) falsch, so g¨abe es ein x ∈ N mit 0 = ν(x) = x + 1, also x = −1.

Mit 0 −ν Wegen limn→∞ ξn = 0 folgt dann x = ∑∞ ν=−k aν b , also die Behauptung. Induktionsanfang n = −k. Es gilt 0 xb−k < b, also gibt es eine ganze Zahl a−k ∈ {0, 1, . , b − 1} und eine reelle Zahl δ mit 0 δ < 1, so dass xb−k = a−k + δ. Mit ξ−k := δbk erh¨alt man x = a−k bk + ξ−k mit 0 ξ−k < bk . Das ist die Behauptung f¨ur n = −k. Induktionsschritt n → n + 1. Es gilt 0 ξn bn+1 < b, also gibt es eine ganze Zahl an+1 ∈ {0, 1, . , b − 1} und eine reelle Zahl δ mit 0 δ < 1, so dass ξn bn+1 = an+1 + δ.

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